在Python中使用逆变换方法生成随机变量

目标

在仿真理论中，生成随机变量是最重要的“构建块”之一，而这些随机变量大多是由均匀分布的随机变量生成的。其中一种可以用来产生随机变量的方法是逆变换法。在本文中，我将向您展示如何使用Python中的逆变换方法生成随机变量(包括离散和连续的情况)。

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概念

给定随机变量U，其中U在(0,1)中均匀分布。 假设我们要生成随机变量X，其中累积分布函数(CDF)为：

逆变换方法的思想是通过如下使用其逆CDF从任何概率分布中生成一个随机数。

对于离散随机变量，步骤略有不同。假设我们想生成一个离散随机变量X的值，它具有一个概率质量函数(PMF)

为了生成X的值，需要生成一个随机变量U，U在(0,1)中均匀分布，并且定义

通过以上步骤，我们可以按如下方法创建逆变换方法的算法。

连续随机数代码实现

首先，我们实现此方法以生成连续随机变量。 假设我们要模拟一个随机变量X，该变量遵循均值λ(即X〜EXP(λ))的指数分布。 我们知道指数分布的概率分布函数(PDF)是

 CDF如下

然后，我们可以使用以下的方法写出逆CDF

在Python中，我们可以通过如下编写这些代码行来简单地实现它。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. ### Generate exponential distributed random variables given the mean  
    2.   
  
  
  
  2. ### and number of random variables  
    3.   
  
  
  
  3. def exponential_inverse_trans(n=1,mean=1):  
    4.   
  
  
  
  4. U=uniform.rvs(size=n)  
    5.   
  
  
  
  5. X=-mean*np.log(1-U)  
    6.   
  
  
  
  6. actual=expon.rvs(size=n,scale=mean)  
    7.   
  
  
  
  7.  
    8.   
  
  
  
  8. plt.figure(figsize=(12,9))  
    9.   
  
  
  
  9. plt.hist(X, bins=50, alpha=0.5, label="Generated r.v.")  
    10.   
  
  
  
  10. plt.hist(actual, bins=50, alpha=0.5, label="Actual r.v.")  
    11.   
  
  
  
  11. plt.title("Generated vs Actual %i Exponential Random Variables" %n)  
    12.   
  
  
  
  12. plt.legend()  
    13.   
  
  
  
  13. plt.show()  
    14.   
  
  
  
  14. return X 
    15.

 我们可以通过运行以下示例来尝试上面的代码。 请注意，由于我们要生成随机变量，因此结果可能会有所不同。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. cont_example1=exponential_inverse_trans(n=100,mean=4)  
    2.   
  
  
  
  2. cont_example2=exponential_inverse_trans(n=500,mean=4)  
    3.   
  
  
  
  3. cont_example3=exponential_inverse_trans(n=1000,mean=4) 
    4.

看起来很有趣。 如果将其与实际变量进行比较，我们可以看到生成的随机变量具有非常相似的结果。 可以调整均值(请注意，我为expon.rvs()函数定义的均值是指数分布中的比例参数)和/或 生成的随机变量的数量，以查看不同的结果。

离散随机数实现代码

对于离散随机变量情况，假设我们要模拟遵循以下分布的离散随机变量情况X

首先，我们编写函数以使用这些代码行为一个样本生成离散随机变量。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. ### Generate arbitary discrete distributed random variables given  
    2.   
  
  
  
  2. ### the probability vector  
    3.   
  
  
  
  3. def discrete_inverse_trans(prob_vec):  
    4.   
  
  
  
  4. U=uniform.rvs(size=1)  
    5.   
  
  
  
  5. if U<=prob_vec[0]:  
    6.   
  
  
  
  6. return 1  
    7.   
  
  
  
  7. else:  
    8.   
  
  
  
  8. for i in range(1,len(prob_vec)+1):  
    9.   
  
  
  
  9. if sum(prob_vec[0:i])U:  
    10.   
  
  
  
  10. return i+1 
    11.

 然后，我们创建一个函数以使用这些代码行生成许多随机变量样本。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. def discrete_samples(prob_vec,n=1):  
    2.   
  
  
  
  2. sample=[]  
    3.   
  
  
  
  3. for i in range(0,n):  
    4.   
  
  
  
  4. sample.append(discrete_inverse_trans(prob_vec))  
    5.   
  
  
  
  5. return np.array(sample) 
    6.

 最后，我们创建一个函数来模拟结果，并通过这些代码行将其与实际结果进行比较。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. def discrete_simulate(prob_vec,numbers,n=1):  
    2.   
  
  
  
  2. sample_disc=discrete_samples(prob_vec,n)  
    3.   
  
  
  
  3. unique, counts=np.unique(sample_disc,return_counts=True)  
    4.   
  
  
  
  4.  
    5.   
  
  
  
  5. fig=plt.figure()  
    6.   
  
  
  
  6. ax=fig.add_axes([0,0,1,1])  
    7.   
  
  
  
  7. prob=counts/n  
    8.   
  
  
  
  8. ax.bar(numbers,prob)  
    9.   
  
  
  
  9. ax.set_title("Simulation of Generating %i Discrete Random Variables" %n)  
    10.   
  
  
  
  10. plt.show()  
    11.   
  
  
  
  11.  
    12.   
  
  
  
  12. data={'X':unique,'Number of samples':counts,'Empirical Probability':prob,'Actual Probability':prob_vec}  
    13.   
  
  
  
  13. df=pd.DataFrame(data=data)  
    14.   
  
  
  
  14. return df 
    15.

 我们可以在下面运行一些示例以查看结果。 同样，请注意，由于我们要生成随机变量，因此结果可能会有所不同。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. prob_vec=np.array([0.1,0.3,0.5,0.05,0.05])  
    2.   
  
  
  
  2. numbers=np.array([1,2,3,4,5])  
    3.   
  
  
  
  3.  
    4.   
  
  
  
  4. dis_example1=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=100)  
    5.   
  
  
  
  5. dis_example2=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=500)  
    6.   
  
  
  
  6. dis_example3=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=1000) 
    7.

    

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. In[11]: dis_example1  
    2.   
  
  
  
  2. Out[11]:  
    3.   
  
  
  
  3. X Number of samples Empirical Probability Actual Probability  
    4.   
  
  
  
  4. 0 1 8 0.08 0.10  
    5.   
  
  
  
  5. 1 2 35 0.35 0.30  
    6.   
  
  
  
  6. 2 3 50 0.50 0.50  
    7.   
  
  
  
  7. 3 4 5 0.05 0.05  
    8.   
  
  
  
  8. 4 5 2 0.02 0.05In[12]: dis_example2  
    9.   
  
  
  
  9. Out[12]:  
    10.   
  
  
  
  10. X Number of samples Empirical Probability Actual Probability  
    11.   
  
  
  
  11. 0 1 53 0.106 0.10  
    12.   
  
  
  
  12. 1 2 159 0.318 0.30  
    13.   
  
  
  
  13. 2 3 234 0.468 0.50  
    14.   
  
  
  
  14. 3 4 30 0.060 0.05  
    15.   
  
  
  
  15. 4 5 24 0.048 0.05In[13]: dis_example3  
    16.   
  
  
  
  16. Out[13]:  
    17.   
  
  
  
  17. X Number of samples Empirical Probability Actual Probability  
    18.   
  
  
  
  18. 0 1 108 0.108 0.10  
    19.   
  
  
  
  19. 1 2 290 0.290 0.30  
    20.   
  
  
  
  20. 2 3 491 0.491 0.50  
    21.   
  
  
  
  21. 3 4 51 0.051 0.05  
    22.   
  
  
  
  22. 4 5 60 0.060 0.05 
    23.

 结果很有趣! 我们可以看到，随着我们增加随机变量样本的数量，经验概率越来越接近实际概率。 尝试使用不同数量的样本和/或不同的分布进行实验，以查看不同的结果。

总结 

这种逆变换方法是统计中非常重要的工具，尤其是在仿真理论中，在给定随机变量均匀分布在(0,1)中的情况下，我们想生成随机变量。 研究案例本身非常广泛，您可以使用在生成经验累积分布函数，预测分析中使用到的这种方法。

分享名称：在Python中使用逆变换方法生成随机变量
文章网址：http://www.shufengxianlan.com/qtweb/news20/286320.html

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