使用Python进行线性规划示例

运筹学

运筹学是一种科学的决策方法，它通常是在需要分配稀缺资源的条件下，寻求系统的优秀设计。科学的决策方法需要使用一个或多个数学模型(优化模型)来做出最优决策。

优化模型试图在满足给定约束的决策变量的所有值的集合中，找到优化(最大化或最小化)目标函数的决策变量的值。它的三个主要组成部分是：

目标函数:要优化的函数(最大化或最小化)。
决策变量:影响系统性能的可控变量。
约束:决策变量的一组约束(即线性不等式或等式)。非负性约束限制了决策变量取正值。

优化模型的解称为最优可行解。

建模步骤

对运筹学问题进行准确建模是很重要的任务，也是很困难的任务。错误的模型会导致错误的解决方案，从而不能解决原来的问题。团队成员应按照以下步骤进行建模：

问题定义:定义项目的范围，并确定三个要素:决策变量、目标和限制(即约束)。
模型构建:将问题定义转化为数学关系。
模型求解:使用标准优化算法。在获得解后，需要进行灵敏度分析，以找出由于某些参数的变化而导致的解的行为。
模型有效性:检查模型是否按预期工作。
实现:将模型和结果转换为解决方案。

线性规划

线性规划(Linear Programming，也称为LP)是一种运筹学技术，当当所有的目标和约束都是线性的(在变量中)并且当所有的决策变量都是连续的时使用。线性规划是最简单的运筹学方法。

Python的SciPy库包含用于解决线性编程问题的linprog函数。在使用linprog时，编写代码要考虑的两个注意事项：

这个问题必须表述为一个最小化问题。
不等式必须表示为≤。

最小化问题

让我们考虑以下要解决的最小化问题：

让我们看一下Python代码：

 
 
 
 
  
  
  
  # Import required libraries 
  
  
  
  import numpy as np 
  
  
  
  from scipy.optimize import linprog 
  
  
  
   
  
  
  
  # Set the inequality constraints matrix 
  
  
  
  # Note: the inequality constraints must be in the form of <= 
  
  
  
  A = np.array([[-1, -1, -1], [-1, 2, 0], [0, 0, -1], [-1, 0, 0], [0, -1, 0], [0, 0, -1]]) 
  
  
  
   
  
  
  
  # Set the inequality constraints vector 
  
  
  
  b = np.array([-1000, 0, -340, 0, 0, 0]) 
  
  
  
   
  
  
  
  # Set the coefficients of the linear objective function vector 
  
  
  
  c = np.array([10, 15, 25]) 
  
  
  
   
  
  
  
  # Solve linear programming problem 
  
  
  
  res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b) 
  
  
  
   
  
  
  
  # Print results 
  
  
  
  print('Optimal value:', round(res.fun, ndigits=2), 
  
  
  
        '\nx values:', res.x, 
  
  
  
        '\nNumber of iterations performed:', res.nit, 
  
  
  
        '\nStatus:', res.message)

输出结果：

 
 
 
 
  
  
  
  # Optimal value: 15100.0  
  
  
  
  # x values: [6.59999996e+02 1.00009440e-07 3.40000000e+02]  
  
  
  
  # Number of iterations performed: 7  
  
  
  
  # Status: Optimization terminated successfully.

最大化问题

由于Python的SciPy库中的linprog函数是用来解决最小化问题的，因此有必要对原始目标函数进行转换。通过将目标函数的系数乘以-1(即通过改变其符号)，可以将最小化问题转化为一个最大化问题。

让我们考虑下面需要解决的最大化问题:

让我们看一下Python的实现：

 
 
 
 
  
  
  
  # Import required libraries 
  
  
  
  import numpy as np 
  
  
  
  from scipy.optimize import linprog 
  
  
  
   
  
  
  
  # Set the inequality constraints matrix 
  
  
  
  # Note: the inequality constraints must be in the form of <= 
  
  
  
  A = np.array([[1, 0], [2, 3], [1, 1], [-1, 0], [0, -1]]) 
  
  
  
   
  
  
  
  # Set the inequality constraints vector 
  
  
  
  b = np.array([16, 19, 8, 0, 0]) 
  
  
  
   
  
  
  
  # Set the coefficients of the linear objective function vector 
  
  
  
  # Note: when maximizing, change the signs of the c vector coefficient 
  
  
  
  c = np.array([-5, -7]) 
  
  
  
   
  
  
  
  # Solve linear programming problem 
  
  
  
  res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b) 
  
  
  
   
  
  
  
  # Print results 
  
  
  
  print('Optimal value:', round(res.fun*-1, ndigits=2), 
  
  
  
        '\nx values:', res.x, 
  
  
  
        '\nNumber of iterations performed:', res.nit, 
  
  
  
        '\nStatus:', res.message)

上述代码的输出结果为：

 
 
 
 
  
  
  
  # Optimal value: 46.0  
  
  
  
  # x values: [5. 3.]  
  
  
  
  # Number of iterations performed: 5  
  
  
  
  # Status: Optimization terminated successfully.

最后

线性规划为更好的决策提供了一种很好的优化技术。Python的SciPy库中的linprog函数允许只用几行代码就可以解决线性编程问题。虽然还有其他免费的优化软件(如GAMS、AMPL、TORA、LINDO)，但使用linprog函数可以节省大量时间。

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