机器学习的数学之python矩阵运算

本文提纲

1. 什么是矩阵

2. 矩阵在现实应用场景

3. 矩阵表示

4. 矩阵运算

5. 理解矩阵乘法

一、什么是矩阵

一个 m × n 的矩阵是一个由 m 行 n 列元素排列成的矩形阵列。以下是一个由 6 个数字元素构成的 2 行 3 列的矩阵：

矩阵属于线性代数数学分支。线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。表面上，排成矩形的数字就是个矩阵。实际，矩阵是有限维线性空间的线性变换的表示形式。它代表着空间到空间的映射。

二、矩阵在现实应用场景

在程序中，配合矩阵模拟真实数据，并可以实现如下功能：二维图形变换、人脸变换、人脸识别、信息转换等。比如一张图片，简单的黑白图只有黑色和白色构成，是不是可以有 1 0 两个数值的二维矩阵来表示呢?自然，尤其在图像处理里面，图像信息是用二维矩阵数据。

矩阵分析，是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表达复杂的信息。

三、矩阵表达式

我们选择 Python 作为代码演示案例。利用的是 NumPy 库。什么是 NumPy?

NumPy 是一个基础科学的计算包，包含：

一个强大的N维数组对象
sophisticated (broadcasting) functions
tools for integrating C/C++ and Fortran code
有用的线性代数、傅立叶转换和随机数生成函数

在代码中，导入 numpy 函数。

比如下面展示 1 × 2 和 2 × 2 的矩阵。调用 shape 方法，可获取矩阵的大小。同样，numpy 方便了我们很多操作。可以直接创建全 0 矩阵、全 1 矩阵和单元矩阵。代码 matrix_exp.py 如下：

 
 
 
   
  
  
  # -*- coding: utf-8 -*-   
  
  
     
  
  
  # 导入 numpy 函数，以 np 开头   
  
  
  import numpy as np   
  
  
     
  
  
  if __name__ == '__main__':   
  
  
      mat1 = np.array([1, 3])   
  
  
      mat1 = np.mat(mat1)  # 相当于 np.mat([1,3])， mat 函数将目标数据的类型转换为矩阵（matrix）   
  
  
      print mat1   
  
  
      # 1 行 2 列的矩阵（也称 1 * 2 矩阵）   
  
  
      # ==> [[1 3]]   
  
  
     
  
  
      print   
  
  
     
  
  
      mat2 = np.array([[1, 3], [3, 4]])   
  
  
      mat2 = np.mat(mat2)   
  
  
      print mat2   
  
  
      # 2 * 2 矩阵   
  
  
      # ==> [[1 3]   
  
  
      # ==>  [3 4]]   
  
  
     
  
  
      # 获取矩阵的大小   
  
  
      print mat1.shape   
  
  
      print mat2.shape   
  
  
     
  
  
      print   
  
  
     
  
  
      mat3 = np.zeros((2, 3))  # 2 * 3 的全 0 矩阵   
  
  
      mat4 = np.ones((3, 2))   # 3 * 2 的全 1 矩阵   
  
  
      mat5 = np.identity(3)    # 3 * 3 的单元矩阵   
  
  
      mat6 = np.eye(3, 3, 0)   # eye(N, M=None, k=0, dtype=float) 对角线是 1 其余值为 0 的矩阵, k 指定对角线的位置   
  
  
      print mat3   
  
  
      print mat4   
  
  
      print mat5   
  
  
      print mat6

右键，Run 可得到下面结果：

 
 
 
   
  
  
  [[1 3]]   
  
  
  [[1 3]   
  
  
   [3 4]]   
  
  
  (1, 2)   
  
  
  (2, 2)   
  
  
  [[ 0.  0.  0.]   
  
  
   [ 0.  0.  0.]]   
  
  
  [[ 1.  1.]   
  
  
   [ 1.  1.]   
  
  
   [ 1.  1.]]   
  
  
  [[ 1.  0.  0.]   
  
  
   [ 0.  1.  0.]   
  
  
   [ 0.  0.  1.]]   
  
  
  [[ 1.  0.  0.]   
  
  
   [ 0.  1.  0.]   
  
  
   [ 0.  0.  1.]]

如上注解详细解释了方法的使用。

「提示」代码共享在 GitHub：https://github.com/JeffLi1993/robot-mumu

四、矩阵运算

矩阵运算包括了加减乘除、转置、逆矩阵、行列式、矩阵的幂、伴随矩阵等。

矩阵加法、减法、数量乘法规则如下：(和向量的运算规则一样)

-A = (-1)A
A - B = A + (-B)
2A + 3B = (2A)+ (3B)

比如下面展示下矩阵与矩阵相乘、矩阵求逆、转置矩阵及每行或每列求和的运算。代码 matrix_op.py 如下：

 
 
 
   
  
  
  # -*- coding: utf-8 -*-   
  
  
     
  
  
  # 导入 numpy 函数，以 np 开头   
  
  
  import numpy as np   
  
  
     
  
  
  if __name__ == '__main__':   
  
  
      # 矩阵相乘   
  
  
      mat1 = np.mat([1, 3])   
  
  
      mat2 = np.mat([[3], [4]])   
  
  
      mat3 = mat1 * mat2   
  
  
      print mat3   
  
  
      # 1 * 2 矩阵乘以 2 * 1 矩阵，得到 1 * 1 矩阵   
  
  
      # ==> [[15]]   
  
  
     
  
  
      print   
  
  
     
  
  
      # 矩阵求逆   
  
  
      mat4 = np.mat([[1, 0, 1], [0, 2, 1], [1, 1, 1]])   
  
  
      mat5 = mat4.I  # I 对应 getI(self) ，返回可逆矩阵的逆   
  
  
      print mat5   
  
  
      # 矩阵的逆   
  
  
      # ==> [[-1. -1.  2.]   
  
  
      # ==>  [-1.  0.  1.]   
  
  
      # ==>  [ 2.  1. -2.]]   
  
  
     
  
  
      print   
  
  
     
  
  
      # 转置矩阵   
  
  
      mat6 = np.mat([[1, 1, 1], [0, 2, 1], [1, 1, 1]])   
  
  
      mat7 = mat6.T  # I 对应 getT(self) ，返回矩阵的转置矩阵   
  
  
      print mat7   
  
  
      # 矩阵的转置矩阵   
  
  
      # ==> [[1 0 1]   
  
  
      # ==>  [1 2 1]   
  
  
      # ==>  [1 1 1]]   
  
  
     
  
  
      print   
  
  
     
  
  
      # 矩阵每一列的和   
  
  
      sum1 = mat6.sum(axis=0)   
  
  
      print sum1   
  
  
      # 矩阵每一行的和   
  
  
      sum2 = mat6.sum(axis=1)   
  
  
      print sum2   
  
  
      # 矩阵所有行列的总和   
  
  
      sum3 = sum(mat6[1, :])   
  
  
      print sum3   
  
  
     
  
  
      print   
  
  
     
  
  
      # 矩阵与数组之间的转换   
  
  
      mat8 = np.mat([[1, 2, 3]])   
  
  
      arr1 = np.array(mat8)  # 矩阵转换成数组   
  
  
      print arr1   
  
  
      arr2 = [1, 2, 3]   
  
  
      mat9 = np.mat(arr2)  # 数组转换成矩阵   
  
  
      print mat9

右键，Run 可得到下面结果：

 
 
 
   
  
  
  [[15]]    
  
  
  [[-1. -1. 2.]    
  
  
  [-1. 0. 1.]    
  
  
  [ 2. 1. -2.]]    
  
  
  [[1 0 1]    
  
  
  [1 2 1]    
  
  
  [1 1 1]]    
  
  
  [[2 4 3]]    
  
  
  [[3]    
  
  
  [3]    
  
  
  [3]]    
  
  
  [[0 2 1]]    
  
  
  [[1 2 3]]    
  
  
  [[1 2 3]]

五、理解矩阵和向量乘法

从解多元方程组可以看出

【本文为专栏作者“李强强”的原创稿件，转载请通过联系作者获取授权】

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